viernes, 19 de julio de 2013

Técnicas de Conteo, principios de la suma y multiplicación, Permutaciones y Combinaciones


TÉCNICAS  DE  CONTEO: Para  determinar  sin  describir  directamente  el número de resultados posibles de un experimento en particular o el número de elementos de un conjunto en especial, se requieren algunos principios básicos que faciliten el proceso, destacando:
El  principio  de  la  suma  y  la  multiplicación,  el  diagrama  de  árbol,  la  notación  factorial,  las permutaciones, las combinaciones.

PRINCIPIO DE LA SUMA:
Supongamos que un suceso E1 puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede  ocurrir  de  “n”  maneras,  y  supongamos  que  ambos  sucesos  no  pueden  ocurrir simultáneamente. Entonces E1  o E2  puede ocurrir de (m + n) maneras.
Este principio se puede extender a tres o más sucesos.

Recordando  el  lema  de  teoría  de  conjuntos  que  dice.  Supónganos  que  A  y  B  son  conjuntos distintos. Entonces  n(A B) = n(A) + n(B), este también es principio de las suma.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:
Supongamos que un suceso E1 puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede ocurrir de “n” maneras, (sucesos independientes). Entonces las combinaciones de E1  y de E2  pueden ocurrir de (m) (n) maneras.

Este principio se puede extender a tres o más sucesos.

Recordando el teorema de teoría de conjuntos. Supónganos que A y B son conjuntos  finitos.
Entonces  n(A B) = n(A) n(B), este también es principio de la multiplicación.

EJEMPLO 1
En la Universidad de Sonora te  ofrecen tres cursos diferentes de matemáticas, cuatro diferentes de física y dos diferentes de administración.

Determina:
a) ¿Cuántas opciones puedes escoger uno de los cursos?
b) ¿De cuántas maneras distintas puedes escoger un curso de cada materia?
Solución:
a) n = 3 + 4 + 2 = 9 (son 9 maneras)
b) n = (3)(4)(2) = 24 (son 24 maneras)

Ejercicios
1. La compañía aérea Mexicana tiene tres  vuelos diarios entre México y Quintana Roo, y la compañía Aeroméxico tiene dos vuelos diarios entre México y Quintana Roo. Calcula:
a) ¿Cuántas formas distintas de volar de México a Quintana Roo?
b)  ¿Cuántas  formas  distintas  de  volar  con  Mexicana  de  México  a  Quintana  Roo  y  con Aeroméxico de México a Quintana Roo?
c) ¿Cuántas formas distintas de volar de México a Quintana Roo y volver?

2.  En  la  estantería  de  una  librería  hay  seis  libros  de  matemáticas  diferentes,  tres  de  física diferentes, cuatro de química y cinco de informática. Halla el número de posibilidades que tiene un estudiante de elegir:
a) Uno de los libros
b) Uno de cada tipo


3. Un restaurante tiene un menú con tres aperitivos, cuatro platillos diferentes y dos postres.
Hallar el número de formas diferentes que tiene un cliente para pedir un aperitivo y un postre.

4. Un grupo de quinto semestre que tiene siete alumnos y cinco alumnas donde se formará un comité para la graduación. Halla las formas distintas de obtener:
a) Un delegado
b) Dos delegados (un hombre y una mujer)
c) Un Presidente y un Vicepresidente

5. Cecy sale de viaje por quince días, pero en el trayecto extravía su maleta. Ella no cuenta con el  dinero  suficiente  para  comprarse  quince  cambios  de  ropa  diferentes;  por  lo  que  decide adquirir lo siguiente. Cinco blusas, tres pantalones dos tipos de calzados.
¿Cuántos cambios distintos puede formar con esa compra?

6.  En una reunión se encuentran diez personas. Si cada una de ellas saluda de mano a  los demás, ¿cuántos saludos hubo en total?


7. ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar tres trofeos diferentes en un estante de tres niveles?

Permutación y combinación

Son  distintas  formas  en  que  se  pueden  ordenar  los  n elementos de un conjunto, donde el orden de los elementos sí importa.
Existen dos tipos de permutaciones:

1) Permutación lineal
Son los acomodos de n objetos en fila
2) Permutación circular.
Son los acomodos de n objetos en torno a un círculo.

El número de permutaciones simples de n elementos distintos se representa con la notación


El número de permutaciones lineales de n elementos diferentes tomados en un grupo de r en r se obtiene con la fórmula  

La formula de permutaciones de n elementos, no todos diferentes entre si

La fórmula de permutación circular es PC = (n-1)!

COMBINACIONES:
Son distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto, donde el orden de los elementos no importa.
El  número  de  combinaciones  de  n  elementos  tomados  de  r  en  r  se  expresa  ncr,  otras notaciones que se usan son


Para resolver permutaciones primero vamos a ver el número factorial







2)  ¿Cuántas  palabras  de  cinco  letras  se  pueden  forman con las letras de la palabra grupo  sin repetir letras?

Solución: contamos con cinco letras diferentes y queremos formar palabras de cinco por lo tanto tenemos 5 letras para el primer lugar de las palabras, 4 para el segundo lugar, 3 para el tercer, 2 para el cuarto y 1 para el quinto.

3) Cuántos números pueden formar  con los dígitos 1, 2, 3, 4 sin repetir ningún digito y repitiendo
Solución. (Sin repetir números)
4x3x2x1= 4! y 4!=24 también es 4P4=24
Solución: (Con repetir números)
4x4x4x4= 256
4) En una empresa siete ejecutivos asisten a una junta donde hay siete sillas. ¿Cuántas formas diferentes se pueden ocupar las sillas.
5) ¿Cuántas palabras de 6 letras se pueden forman con las letras de la palabra  México  sin repetir letras?
6) Cuántos números se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 sin repetir ningún digito.
7) De cuánto formas diferentes puedes acomodar 7 libros diferentes en un estante de
Librero.
8) Cuántos números se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 con repetición de digito.



Ejercicios
1) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 7 personas en una fila de 4 asientos?
2) ¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden forman con las letras de la palabra  Maestro?
3) ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden forman con las letras de la palabra Saeva?
4) ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden forman con las letras de la palabra  cbtas sin repetir letras?
5) ¿Cuántas números de siete cifras se pueden formar utilizando los números del 1, 233,421?
5)  ¿Cuántas  palabras  de  11  letras  se  pueden  forman  con  las  letras  de  la  palabra Estadística?

Operaciones con permutaciones circulares (cíclicas)
1) Calcula de cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda.
Solución: Utilizando  la  fórmula  de  permutaciones circulares.
PC= Pc = (n-1)! Es decir P8 = (8-1)!=7!
7!= 7x6x5x4x3x2x1=5040
2)  Calcula   de  cuántas  formas  se  pueden  acomodar  5 personas alrededor de una fogata.
Solución: Sustituyendo P5 = (5-1)! =4!
4!=4x3x2x1= 24




Ejercicios
1) Calcula de cuántas formas se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda.
2) Calcula de cuántas formas se pueden acomodar 10 personas alrededor de una fogata.
3) determina el valor 7C4.
4) ¿Cuántos equipos de 3 alumnos se pueden de formar de 7 alumnos, para un torneo?
5)  En una maquiladora se presentaron a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas formas  el  jefe  de  personal  puede  hacer  la  selección  si  únicamente  puede  contratar  a  6 hombres y 3 mujeres?

Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto, DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística  cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen

Introducción a la probabilidad y estadística 13a. EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

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